Änne Gröschler wurde in Osnabrück geboren. Im Jahr 1914 heiratete sie in Jever Hermann Gröschler, der dort die erfolgreiche Rohprodukt- und Altwarenhandelsfirma „Simon Gröschler KG“ leitete. Er war außerdem Vorsteher der jüdischen Gemeinde in Jever sowie Mitglied im Stadtrat. Das Ehepaar hatte drei Kinder. Obwohl Änne und Hermann Gröschler aufgrund ihres Status als in der Stadt angesehene und respektierte Familie nach der Machtübernahme der Nationalsozialisten vorerst von konkreten Anfeindungen größtenteils verschont blieben, waren auch sie zunehmend der antisemitischen und repressiven Politik des Regimes ausgesetzt. So wurde der Familie die Wohnung gekündigt und ihr Sohn Walter vom Besuch des Gymnasiums ausgeschlossen. Zwischen 1935 und 1937 gelang es allen drei Kindern der Familie Gröschler, ins Ausland zu emigrieren: Käthe Gröschler in das niederländische Groningen, Gertrud Gröschler nach England und Walter Gröschler zu seinem Onkel Fritz Steinfeld nach Palästina.

Infolge der Ereignisse der Nacht vom 9. auf den 10. November 1938 wurde die Wohnung des Ehepaars Gröschler geplündert und sie selber verhaftet. Während Änne Gröschler nur kurzzeitig inhaftiert war, wurde Hermann Gröschler zusammen mit zwölf weiteren jüdischen Männern aus Jever in das Konzentrationslager Sachsenhausen deportiert. Das Vermögen der Familie wurde nahezu vollständig beschlagnahmt.

Nach der Entlassung Hermann Gröschlers aus Sachsenhausen emigrierte das Ehepaar Anfang 1939 zu Tochter und Schwiegersohn nach Groningen. Aufgrund der Besetzung der Niederlande durch die Wehrmacht im Mai 1940 und der nun auch hier einsetzenden Ausgrenzung und Entrechtung der jüdischen Bevölkerung, sahen sich Änne und Hermann Gröschler 1942 gezwungen, in einem Versteck unterzutauchen, das ihnen von Seiten des niederländischen Widerstands vermittelt wurde.
Nach der Entdeckung des Verstecks im Oktober 1942, wurde das Ehepaar erneut verhaftet und in das Durchgangslager Westerbork gebracht.

Dort wurden die Gröschlers aufgrund ihrer Kontakte nach Palästina als sogenannte „Austauschjuden“ eingestuft. Als solche wurden im Nationalsozialismus diejenigen Jüdinnen und Juden bezeichnet, die aufgrund von persönlichen Kontakten zu „Feindstaaten“ für einen Austausch gegen Güter oder in diesen Staaten internierte Deutsche in Frage kamen. Dementsprechend wurde das Ehepaar Gröschler im Februar 1944 in das anfangs hauptsächlich für „Austauschjuden“ konzipierte Konzentrationslager Bergen-Belsen gebracht. Dort starb der bereits vorher erkrankte Hermann Gröschler nach nur etwa zwei Wochen an Herzversagen. Änne Gröschler wurde im April 1944 tatsächlich gemeinsam mit 221 anderen Jüdinnen und Juden für einen Austausch mit Palästina ausgewählt und konnte das KZ im Juni 1944 verlassen. Sie erreichte im Juli 1944 schließlich Haifa in Palästina. Nach Kriegsende zog Änne Gröschler 1948 zurück nach Groningen, wo sie bis zu ihrem Tod lebte. Nach Deutschland kehrte sie nie zurück.