Mayer wurde 1927 in Karlsbad (Karlovy Vary) geboren, einem Kurort im damaligen deutschsprachigen Sudetenland der Tschechoslowakei. Ihr Vater, Arnold Stein, hatte in der Stadt ein kleines Geschäft für Damenmäntel und -kleider, und ihre Mutter Erna (geb. Eisenberger) besaß dort ein Strickwarengeschäft. Mayer hatte eine ältere Halbschwester Johanna aus einer früheren Ehe ihrer Mutter mit Hans Travnicek, einem Katholiken.

Im September 1938, kurz vor der Annexion des Sudetenlandes durch die Nationalsozialisten, floh die Familie in den Osten nach Prag. Die Stadt beherbergte bereits viele jüdische Flüchtlinge aus Deutschland und Österreich, und Mayers Eltern verbrachten die nächsten sechs Monate damit, zwischen Ämtern und Konsulaten hin und her zu laufen, um vergeblich zu versuchen, auszuwandern. Als letzten Ausweg wandte sich ihr Vater im Februar 1939 direkt an Trevor Chadwick, einen Engländer, der das Prager Ende einer Operation zur Rettung gefährdeter Kinder vor den Nazis organisierte. Diese Rettungsaktion war Teil eines umfassenderen Projekts, das im Oktober 1938 von Doreen Warriner mit späterer Unterstützung des British Committee for Refugees from Czechoslovakia (BCRC) ins Leben gerufen worden war und zunächst darauf abzielte, den im Exil lebenden sudetendeutschen Nazigegnern zur Flucht zu verhelfen.
Nach wochenlangen Verhandlungen mit verschiedenen Agenturen und Gesprächen mit Bewerberfamilien kehrte Winton nach London zurück, um Bürgen für die Kinder zu finden und sich mit den schwerfälligen britischen Behörden auseinanderzusetzen. Trevor Chadwick war ursprünglich nach Prag gereist, um zwei Jungen auszuwählen, die in der vorbereitenden Schule seiner Familie in Swanage, Dorset, untergebracht werden sollten. Kurz nachdem er die beiden Jungen abgeliefert hatte, beschloss er jedoch, in die Stadt zurückzukehren, um bei der Evakuierung anderer Kinder zu helfen. Chadwick fand für Mayer einen Platz in einem Flug nach Großbritannien, der am 14. März 1939, einen Tag vor dem Einmarsch der deutschen Truppen in Prag, vom Flughafen Ruzyně startete. Er sorgte auch dafür, dass sie von seiner verwitweten Mutter unterstützt wurde und zunächst bei seiner eigenen Familie in Swanage lebte. 

Mayers Vater Arnold wurde 1939 in das Konzentrationslager Nisko in Polen gebracht. Er entkam und machte sich auf den Weg ins sowjetisch besetzte Lemberg/Lwów, wo er sich den sowjetischen Truppen anschloss, die an der Ostfront kämpften. Sein letzter Brief an seine Tochter wurde im Juni 1940 geschrieben. In einem Interview, das 2010 für einen Dokumentarfilm des britischen Senders Channel 5 geführt wurde, schildert Mayer, wie ihr Vater und ein paar Begleiter zunächst von den Russen aufgenommen wurden. Nach dem Krieg erfuhr sie jedoch, dass er anschließend in ein sowjetisches Arbeitslager geschickt wurde, wo er ihrer Meinung nach ums Leben kam.